Una función definida a trozos es una función real \(f\) de una variable real \(x\), cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio. [1]
El ejemplo clásico de una función definida por secciones es la función valor absoluto \(abs(x)\), habitualmente definida por:
$$ f(x)= |x| = \left\{ \begin{matrix} -x & si \,\, x < 0 \\ x & si \,\, x \geq 0 \\ \end{matrix}\right. $$
De manera ordinaria, en NumPy, para definir una función en un intervalo tendríamos que crear un vector de \(n\) cantidad de puntos en ese intervalo, y posteriormente crear la expresión que define la función, por ejemplo, definiendo a \(f(x)=x\,\,cos(x)\)
>>> import numpy as np
>>> x=np.linspace(0,10)
>>> y=x*np.cos(x)
Ahora, dada la naturaleza de las funciones por tramos, estás no pueden definirse como en las líneas anteriores, puesto que la expresión que las define depende del intervalo. Una opción para crear una función a trozos sería definiendo un intervalo para cada expresión y posteriormente concatenar todo en un mismo arreglo, tanto para los intervalos como las expresiones.
Por ejemplo, definiendo la función valor absoluto en el intervalo \((-10,10)\):
import numpy as np
x1 = np.linspace(-10,0)
x2 = np.linspace(0,10)
y1 = -x1
y2 = x2
x = np.concatenate((x1,x2))
y = np.concatenate((y1,y2))
Si, lo anterior puede parecer un poco tedioso, así que NumPy también dispone de una función que nos ahorra el estar escribiendo mucho código: piecewise, la cual nos permite crear un arreglo a partir de otro (intervalo), seccionando este acorde a las expresiones/funciones pasadas como argumentos y a las condiciones lógicas para definir los subintervalos. En términos simples la sintaxis de piecewise es:
np.piecewise(x, logls, funls)
Donde x es un arreglo que define la variable independiente, logls una lista de condiciones lógicas para seccionar y definir los subintervalos, y funls una lista de funciones o constantes que definen el valor de la función para el subintervalo correspondiente.
Siguiendo con nuestro ejemplo de la función valor absoluto, haríamos algo como lo siguiente:
import numpy as np
x = np.linspace(-5, 5)
y = np.piecewise(x, [x<0, x>=0], [lambda x: -x, lambda x: x])
Desde luego también se pueden usar funciones ordinarias en lugar de lambdas.
Para hacer esto un poco más ilustrativo vamos a utilizar Matplotlib para trazar la gráfica correspondiente:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-5, 5)
y = np.piecewise(x, [x<0, x>=0], [lambda x: -x, lambda x: x])
plt.plot(x, y)
plt.show()
Referencias:
[1]. https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_definida_a_trozos